2次の行列と行列式行列式の定義逆行列

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行列と行列式 (現代数学への入門) (砂田利一(著)、岩波書店)の第1章(2次の行列と行列式)、1.2(行列式の定義)、b(逆行列)の問6の解答を求めてみる。

Pの逆行列を求める。

\begin{array}{l} \det P \\ = \det [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] \\ = - 1 \\ P^{- 1} = \frac{1}{- 1} [\begin{matrix} 0 & - 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] \end{array}

よって、

\begin{array}{l} P [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}] P^{- 1} \\ = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}] P^{- 1} \\ = [\begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{11} & a_{12} \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} a_{22} & a_{21} \\ a_{12} & a_{11} \end{matrix}] \end{array}