連立1次方程式正則行列定義、逆行列、基本変形

学習環境

手を動かしてまなぶ線形代数 (藤岡敦(著)、裳華房)の第2章(連立1次方程式)、6(正則行列)、確認問題の問6.1の解答を求めてみる。

逆行列が存在する色列を正則行列という。

ア

\begin{array}{l} [\begin{matrix} 1 & a & b & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & c & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \\ [\begin{matrix} 1 & 0 & - a c + b & 1 & - a & 0 \\ 0 & 1 & c & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \\ [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 1 & - a & a c - b \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & - c \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \end{array}

よって、求める逆行列は

[\begin{matrix} 1 & - a & a c - b \\ 0 & 1 & - c \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

イ

\begin{array}{l} [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \\ [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 0 & 1 \end{matrix}] \\ [\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 0 & 1 \end{matrix}] \\ [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 3 & - 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 0 & 1 \end{matrix}] \\ [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 3 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 & 1 & 0 \end{matrix}] \end{array}

よって、求める逆行列は、

[\begin{matrix} 3 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 1 & 0 \end{matrix}]