連立1次方程式正則行列分割、逆行列

学習環境

手を動かしてまなぶ線形代数 (藤岡敦(著)、裳華房)の第2章(連立1次方程式)、6(正則行列)、基本問題の問6.2の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} A X \\ = [\begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ O & A_{22} \end{matrix}] [\begin{matrix} X_{11} & X_{12} \\ X_{21} & X_{22} \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} A_{11} X_{11} + A_{12} X_{21} & A_{11} X_{12} + A_{12} X_{22} \\ A_{22} X_{21} & A_{22} X_{22} \end{matrix}] \end{array}

1で

\begin{array}{l} X_{11} = A_{11}^{- 1} \\ X_{22} = A_{22}^{- 1} \end{array}

とおくと、

A X = [\begin{matrix} E_{n} + A_{12} X_{21} & A_{11} X_{12} + A_{12} A_{22}^{- 1} \\ A_{22} X_{21} & E_{n} \end{matrix}]

さらに、

\begin{array}{l} X_{21} = A O \\ A_{11} X_{12} + A_{12} A_{22}^{- 1} = O \\ A_{11} X_{12} = - A_{12} A_{22}^{- 1} \\ X_{12} = - A_{11}^{- 1} A_{12} A_{22}^{- 1} \end{array}

とおけば、

A X = E_{2 n}

よって行列Aは正則で、その逆行列は、

A^{- 1} = [\begin{matrix} A_{11}^{- 1} & - A_{11}^{- 1} A_{12} A_{22}^{- 1} \\ 0 & A_{22}^{- 1} \end{matrix}]