数学のブログ

連立1次方程式 正則行列 分割、逆行列

手を動かしてまなぶ 線形代数 (藤岡 敦(著)、裳華房)の第2章(連立1次方程式)、6(正則行列)、基本問題の問6.2の解答を求めてみる。

1

A X = [ A 11 A 12 O A 22 ] [ X 11 X 12 X 21 X 22 ] = [ A 11 X 11 + A 12 X 21 A 11 X 12 + A 12 X 22 A 22 X 21 A 22 X 22 ]

2

1で

X 11 = A 11 - 1 X 22 = A 22 - 1

とおくと、

A X = [ E n + A 12 X 21 A 11 X 12 + A 12 A 22 - 1 A 22 X 21 E n ]

さらに、

X 21 = A O A 11 X 12 + A 12 A 22 - 1 = O A 11 X 12 = - A 12 A 22 - 1 X 12 = - A 11 - 1 A 12 A 22 - 1

とおけば、

A X = E 2 n

よって行列Aは正則で、その逆行列は、

A - 1 = [ A 11 - 1 - A 11 - 1 A 12 A 22 - 1 0 A 22 - 1 ]