数学のブログ

連立1次方程式 正則行列 べき乗、べき零行列、定義、逆行列、可逆

手を動かしてまなぶ 線形代数 (藤岡 敦(著)、裳華房)の第2章(連立1次方程式)、6(正則行列)、基本問題の問6.3の解答を求めてみる。

1

( E n - A ) ( E n + ∑ k = 1 m - 1 A k ) = E n + ∑ k = 1 m - 1 A k - ∑ k = 2 m A k = E n - A m

2

正方行列Aについて、ある自然数nが存在して、

A n = O

となるとき、Aをべき零行列という。

3

Aがn次のべき零行列のとき、ある自然数Nが存在して、

A N = O

よって、 1で

m ≥ N

のとき、

E n - A m = E n - O = E n

ゆえに、

E n - A

の逆行列が存在する、すなわち可逆なのでこれは正則である。