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逆写像定理と陰関数定理逆写像定理微分の定義、線型写像、連結開集合、定値、零

解析入門(中)
(松坂和夫数学入門シリーズ 5)
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学習環境

解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第17章(逆写像定理と陰関数定理)、17.1(逆写像定理)、問題1の解答を求めてみる。

x、 y をUの任意の異なる元とする。

問題の仮定より、

\frac{| f (x) - f (y) - f' (v) |}{| x - y |} = 0

を満たす Uの元vが存在する。

よって、

\begin{array}{l} \frac{| f (x) - f (y) - O |}{| x - y |} = 0 \\ | f (x) - f (y) | = 0 \\ f (x) - f (y) = O \\ f (x) = f (y) \end{array}

ゆえに、fはU上で定値である。

（証明終）