行列式行列式写像とその存在 n次正方行列、符号、等式

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解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第16章(行列式)、16.1(行列式写像とその存在)、問題3の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \det B \\ = \sum_{\partial \in S_{n}} s (σ) \prod_{k = 1}^{n} b_{k} σ (k) \\ = \sum_{\partial \in S_{n}} s (σ) \prod_{k = 1}^{n} {(- 1)}^{k + σ (k)} a_{k σ (k)} \\ = \sum_{\partial \in S_{n}} s (σ) {(- 1)}^{2 Σ_{i = 1}^{n} i} \prod_{k = 1}^{n} a_{k σ (k)} \\ = \sum_{\partial \in S_{n}} s (σ) \prod_{k = 1}^{n} a_{k σ (k)} \\ = \det A \end{array}