行列式行列式の他の性質転置行列との積、行列式の積と積の行列式、符号

学習環境

解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第16章(行列式)、16.2(行列式の他の性質)、問題2の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} A A^{T} \\ = [\begin{matrix} a & b & c & d \\ - b & a & - d & c \\ - c & d & a & - b \\ - d & - c & b & a \end{matrix}] [\begin{matrix} a & - b & - c & - d \\ b & a & d & - c \\ c & - d & a & b \\ d & c & - b & a \end{matrix}] \\ = (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}) [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \end{array}

また、

\det A = \det A^{T}

より、

\begin{array}{l} \det (A A^{T}) = a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} \\ (\det A) (\det A^{T}) = a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} \\ {(\det A)}^{2} = {(a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2})}^{4} \\ \det A = {(a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2})}^{2} \end{array}