数学のブログ

行列式 行列式の他の性質 空間上の4点を頂点とする四面体の面積、ベクトル、外積、内積、絶対値

解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫 (著)、岩波書店)の第16章(行列式)、16.2(行列式の他の性質)、問題8の解答を求めてみる。

v i = ( x i - x 1 , y i - y 1 , z i - z 1 ) i = 2 , 3 , 4

とおく。

問題の4点を頂点とする四面体の体積は、

1 6 | ( v 2 × v 3 ) · v 4 | = 1 6 | ( ( y 2 - y 1 ) ( z 3 - z 1 ) - ( z 2 - z 1 ) ( y 3 - y 1 ) , ( z 2 - z 1 ) ( x 3 - x 1 ) - ( x 2 - x 1 ) ( z 3 - z 1 ) , ( x 2 - x 1 ) ( y 3 - y 1 ) - ( y 2 - y 1 ) ( x 3 - x 1 ) ) · ( x 4 - x 1 , y 4 - y 1 , z 4 - z 1 ) |

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

v2={x2-x1,y2-y1,z2-z1};
v3={x3-x1,y3-y1,z3-z1};
v4={x4-x1,y4-y1,z4-z1};

Dot[Cross[v2, v3], v4]
Output
Expand[%]
Output
s1 = 1/6Abs[%]
Output
% // TraditionalForm
Output
Det[
    {{1, 1, 1, 1},
     {x1, x2, x3, x4},
     {y1, y2, y3, y4},
     {z1, z2, z3, z4}}
]
Output
s2=1/6Abs[%]
Output
% // TraditionalForm
Output
s1 == s2
Output