行列式行列式の他の性質帰納法、漸化式、列、展開

学習環境

解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第16章(行列式)、16.2(行列式の他の性質)、問題1の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \det [\begin{matrix} x & - 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & x & - 1 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & x & - 1 \\ a_{0} & a_{1} & a_{2} & \dots & a_{n - 1} & a_{n} \end{matrix}] \\ = x \det [\begin{matrix} x & - 1 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & x & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & x & - 1 \\ a_{1} & a_{2} & \dots & a_{n - 1} & a_{n} \end{matrix}] + {(- 1)}^{n} {(- 1)}^{n} a_{0} \\ = x \det [\begin{matrix} x & - 1 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & x & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & x & - 1 \\ a_{1} & a_{2} & \dots & a_{n - 1} & a_{n} \end{matrix}] + a_{0} \\ = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{k} \end{array}

\begin{array}{l} D_{n} \\ = \det [\begin{matrix} 1 + x^{2} & x & 0 & \dots & 0 & 0 \\ x & 1 + x^{2} & x & \dots & 0 & 0 \\ 0 & x & 1 + x^{2} & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 + x^{2} & x \\ 0 & 0 & 0 & \dots & x & 1 + x^{2} \end{matrix}] \\ = (1 + x^{2}) D_{n - 1} - x \cdot x D_{n - 2} \\ = (1 + x^{2}) D_{n - 1} - x^{2} D_{n - 2} \\ = \sum_{k = 0}^{n} x^{2 k} \end{array}