行列式行列式の他の性質実3次元空間上の4点が同一平面上にあるための必要十分条件、連立一次方程式、自明でない解

学習環境

解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第16章(行列式)、16.2(行列式の他の性質)、問題6の解答を求めてみる。

3次元空間

ℝ^{3}

上の4点

\begin{array}{l} (x_{i}, y_{i}, z_{i}) \\ i = 1, \dots, 4 \end{array}

が同一平面上にあるための必要十分条件は、実数a、b、 c、 dに関する連立1次方程式

a x_{i} + b y_{i} + c z_{i} + d = 0

が自明ではない解をもつことである。

また、この連立1次方程式が自明ではない解をもつための必要十分条件は、

\det [\begin{matrix} x_{1} & y_{1} & z_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & z_{z} & 1 \\ x_{3} & y_{3} & z_{3} & 1 \\ x_{4} & y_{4} & z_{4} & 1 \end{matrix}] = 0

（証明終）