行列式置換積、互換、巡回置換、符号

学習環境

手を動かしてまなぶ線形代数 (藤岡敦(著)、裳華房)の第3章(行列式)、7(置換)、確認問題の問7.1、7.2の解答を求めてみる。

問7

\begin{array}{l} σ τ = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 2 \end{matrix}) \\ τ σ = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 & 3 \end{matrix}) \end{array}

\begin{array}{l} σ τ = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{matrix}) \\ τ σ = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \end{matrix}) \end{array}

問7.2

\begin{array}{l} σ = (\begin{matrix} 1 & 4 & 6 & 7 & 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 & 5 \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} 1 & 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 7 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 6 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 4 \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 & 5 \end{matrix}) \end{array}

よって、求める問題の置換の符号は、

s g n (σ) = {(- 1)}^{5} = - 1

互換の積で表す。

\begin{array}{l} σ = (\begin{matrix} 1 & 7 & 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 & 4 & 5 \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} 1 & 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 7 \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 & 5 \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 & 4 \end{matrix}) \\ s g n (σ) = {(- 1)}^{4} = 1 \end{array}