数学のブログ

線積分 ポテンシャル関数をもつベクトル場の線積分 逆正接関数、道、曲線に無関係な求め方

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第6章(線積分)、3(ポテンシャル関数をもつベクトル場の線積分)の練習問題15の解答を求めてみる。

a

問題のベクトル場のポテンシャル関数は、

φ ( x , y ) = arctan y x

実際に、

∂ φ ∂ x = 1 1 + y 2 x 2 · - y x 2 = - y x 2 + y 2 ∂ φ ∂ y = 1 1 + y 2 x 2 · 1 x = x x 2 + y 2

よって、求める問題の直線の積分は、

φ ( 1 , 0 ) - φ ( 0 , 1 ) = 0 - π 2 = - π 2

b

φ ( - 1 , 3 ) - φ ( 2 , 0 ) = arctan ( - 3 ) - arctan 0 = 2 3 π

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

VectorPlot[
    1/(x^2+y^2){-y, x},
    {x, -2, 2},
    {y, 0.1, 2},
    AspectRatio -> {2, 1}
]
Output
VectorPlot[
    1/(x^2+y^2){-y, x},
    {x, -2, 2},
    {y, -2, -0.1},
    AspectRatio -> {2, 1}
]
Output