数学のブログ

線積分 ポテンシャル関数をもつベクトル場の線積分 累乗、2点を結ぶ任意の曲線

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第6章(線積分)、3(ポテンシャル関数をもつベクトル場の線積分)の練習問題8の解答を求めてみる。

φ ( x , y , z ) = x y z 3

はFのポテンシャル関数である。

P、 Qを 任意の2点とする。

C ( t )

をP、Qを結ぶ任意の曲線とし、

C ( a ) = P C ( b ) = Q

とする。

このとき、 Fの積分は、

∫ P , C Q F = ∫ a b F ( C ( t ) ) · C ' ( t ) dt = ∫ a b g r a d φ ( C ( t ) ) · C ' ( t ) dt = φ ( C ( b ) ) - φ ( C ( a ) ) = φ ( Q ) - φ ( P )

よって、2点を結ぶ曲線のとり方によらない。

（証明終）

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

VectorPlot3D[
    {z^3 y, z^2 x, 3 z^2 x y},
    {x, -1, 1},
    {y, -1, 1},
    {z, -1, 1}
]
Output