数学のブログ

線積分 ポテンシャル関数をもつベクトル場の線積分 点と点を結ぶ曲線

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第6章(線積分)、3(ポテンシャル関数をもつベクトル場の線積分)の練習問題6の解答を求めてみる。

問題のベクトル場Fのポテンシャル関数は、

φ ( x , y , z ) = x z 2 + y 2

点P、Qの間を結ぶ任意の曲線

C ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) )

とし、

C ( a ) = P C ( b ) = Q

とするとき、問題のベクトル場でのPからQまでの曲線の積分は、

∫ P , C Q F = ∫ a b F ( C ( t ) ) · C ' ( t ) dt = ∫ a b g r a d φ ( C ( t ) ) · C ' ( t ) dt = φ ( C ( b ) ) - φ ( C ( a ) ) = φ ( Q ) - φ ( P )

よって、ベクトル場FのPからQまでの積分は、 PとQの間を結ぶ曲線に無関係である。

（証明終）

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

VectorPlot3D[
    {z^2, 2y, 2x z},
    {x, -1, 1},
    {y, -1, 1},
    {z, -1, 1}
]
Output