数学のブログ

線積分 ポテンシャル関数をもつベクトル場の線積分 曲線、煩わしさを避ける

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第6章(線積分)、3(ポテンシャル関数をもつベクトル場の線積分)の練習問題4の解答を求めてみる。

問2のベクトル場のポテンシャル関数。

φ ( x , y , z ) = x 2 + 3 2 y 2 + 2 z 2

このベクトル場の問題の曲線の積分。

φ ( 1 , 1 , 1 ) - φ ( 0 , 0 , 0 ) = 1 + 3 2 + 2 = 9 2

問3のベクトル場のポテンシャル関数。

φ ( x , y , z ) = x y + y z + z x

このベクトル場の問題の曲線の積分。

φ ( 1 , 1 , 1 ) - φ ( 0 , 0 , 0 ) = 1 + 1 + 1 = 3

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

VectorPlot3D[
    {2x,3y,4z},
    {x, 0, 1},
    {y, 0, 1},
    {z, 0, 1}
]
Output
ParametricPlot3D[
    {t, t^2, t^3},
    {t, 0, 1},
    AxesLabel -> {x, y, z}
]
Output
VectorPlot3D[
    {y+z,x+z,x+y},
    {x, 0, 1},
    {y, 0, 1},
    {z, 0, 1}
]
Output