数学のブログ

線積分 ポテンシャル関数をもつベクトル場の線積分 指数関数、三角関数(正弦と余弦)、距離

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第6章(線積分)、3(ポテンシャル関数をもつベクトル場の線積分)の練習問題7の解答を求めてみる。

∫ C F = ∫ 0 2 π e t ( ( e t cos t ) 2 + ( e t sin t ) 2 ) 3 2 ( cos t , sin t ) · ( e t cos t - e t sin t , e t sin t + e t cos t ) dt = ∫ 0 2 π e - t ( cos t , sin t ) · ( cos t - sin t , sin t + cos t ) dt = ∫ 0 2 π e - t ( sin 2 t + cos 2 t ) dt = ∫ 0 2 π e - t dt = [ - e - t ] 0 2 π = - e - 2 π + 1

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

VectorPlot[
    1/Sqrt[x^2+y^2]^3{x, y},
    {x, -Exp[2Pi], Exp[2Pi]},
    {y, -Exp[2Pi], Exp[2Pi]}
]
Output
ParametricPlot[
    Exp[t]{Cos[t], Sin[t]},
    {t, 0, 2Pi}
]
Output
VectorPlot[
    1/Sqrt[x^2+y^2]^3{x, y},
    {x, -50, 1},
    {y, 1, 10}
]
Output
VectorPlot[
    1/Sqrt[x^2+y^2]^3{x, y},
    {x, -50, -1},
    {y, -120, -1}
]
Output
VectorPlot[
    1/Sqrt[x^2+y^2]^3{x, y},
    {x, 1, 250},
    {y, -180, -110}
]
Output