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線積分 ポテンシャル関数をもつベクトル場の線積分 円、円周、範囲、半径、極座標表示、三角関数(正弦と余弦)、距離、合成微分律

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第6章(線積分)、3(ポテンシャル関数をもつベクトル場の線積分)の練習問題10の解答を求めてみる。

a

半径1の円周に沿う曲線のパラメーター表示について。

C ( t ) = ( cos t , sin t ) 0 ≤ t ≤ π 2

求める積分。

∫ C F = ∫ 0 π 2 ( cos t cos 1 , sin t cos 1 ) , ( - sin t , cos t ) dt = cos 1 ∫ 0 π 2 ( - cos t sin t + sin t cos t ) dt = 0

b

∫ C F = 0

c

ポテンシャル関数。

φ ( x , y ) = sin r

よって、ポテンシャル関数をもつ。

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

VectorPlot[
    Cos[Sqrt[x^2+y^2]] / Sqrt[x^2+y^2]{x, y},
    {x, -1, 1},
    {y, 0.1, 1},
    AspectRatio -> {2, 1}
]
Output
VectorPlot[
    Cos[Sqrt[x^2+y^2]] / Sqrt[x^2+y^2]{x, y},
    {x, -1, 1},
    {y, -0.1, -1},
    AspectRatio -> {2, 1}
]
Output
ParametricPlot[{Cos[t], Sin[t]}, {t, 0, 2Pi}]
Output