数学のブログ

線積分 ポテンシャル関数をもつベクトル場の線積分 円、円周、半径、極座標表示、三角関数(正弦と余弦)、距離、合成微分律

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第6章(線積分)、3(ポテンシャル関数をもつベクトル場の線積分)の練習問題11の解答を求めてみる。

a

原点を中心とする半径1の 円周に沿う、時計と反対の向きのパラメーター表示。

C ( t ) = ( cos t , sin t ) 0 ≤ t ≤ 2 π

求める積分。

∫ C F = ∫ 0 2 π ( cos t - sin t , cos t + sin t ) · ( - sin t , cos t ) dt = ∫ 0 2 π ( - sin t cos t + sin 2 t + cos 2 t + sin t cos t ) dt = ∫ 0 2 π 1 dt = [ t ] 0 2 π = 2 π

b

ポテンシャル関数をもつと仮定すると、

∂ φ ∂ x = x - y x 2 + y 2 φ ( x , y ) = 1 x 2 + y 2 + ψ ( y ) ∂ ψ ∂ x = - y x 2 + y 2

よって ポテンシャル関数をもたない。

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

VectorPlot[
    {(x-y)/(x^2+y^2), (x+y)/(x^2+y^2)},
    {x, -1, 1},
    {y, 0.1, 1},
    AspectRatio -> {2, 1}
]
Output
VectorPlot[
    {(x-y)/(x^2+y^2), (x+y)/(x^2+y^2)},
    {x, -1, 1},
    {y, -1, 0.1},
    AspectRatio -> {2, 1}
]
Output