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線積分 ポテンシャル関数をもつベクトル場の線積分 円、円周、半径、極座標表示、三角関数(正弦と余弦)、指数関数

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第6章(線積分)、3(ポテンシャル関数をもつベクトル場の線積分)の練習問題13の解答を求めてみる。

a

原点を中心とする 半径1の円周に沿う曲線のパラメーター表示。

C ( t ) = ( cos t , sin t )

求める積分。

∫ C F = ∫ 0 2 π e cos 2 t + sin 2 t cos 2 t + sin 2 t ( cos t , sin t ) · ( - sin t , cos t ) dt = ∫ 0 2 π 0 dt = 0

b

問題のベクトル場のポテンシャル関数。

φ ( t ) = e r

求める積分。

∫ C F = φ ( t 0 ) - e ( t 0 ) = 0

c

bから分かるように、ポテンシャル関数をもつ。

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

r = x^2+y^2
Output
VectorPlot[
    Exp[r]/r{x, y},
    {x, -1, 1},
    {y, 0.1, 1},
    AspectRatio -> {2, 1}
]
Output
VectorPlot[
    Exp[r]/r{x, y},
    {x, -1, 1},
    {y, -1, -0.1},
    AspectRatio -> {2, 1}
]
Output
VectorPlot[
    Exp[r]/r{x, y},
    {x, 9, 19},
    {y, -22, -12}
]
Output