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線積分 ポテンシャル関数をもつベクトル場の線積分 円、円周、半径、極座標表示、三角関数(正弦と余弦)、ポテンシャル関数をもたない場合、閉曲線

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第6章(線積分)、3(ポテンシャル関数をもつベクトル場の線積分)の練習問題12の解答を求めてみる。

a

D 2 f = - ( x 2 + y 2 ) - ( - y + 3 x ) · 2 y ( x 2 + y 2 ) 2 = - x 2 - y 2 + 2 y 2 - 6 x y ( x 2 + y 2 ) 2 = - x 2 + y 2 - 6 x y ( x 2 + y 2 ) 2 D 1 g = ( x 2 + y 2 ) - ( x + 3 y ) 2 x ( x 2 + y 2 ) 2 = x 2 + y 2 - 2 x 2 - 6 x y ( x 2 + y 2 ) 2 = - x 2 + y 2 - 6 x y ( x 2 + y 2 ) 2

よって、

D 2 f = D 1 g

問題のベクトル場はその長方形の内部でポテンシャル関数をもつ。

b

原点を中心とする反径1の円周に沿う、時金を反対向きのパラメーター曲線表示。

C ( t ) = ( cos t , sin t ) 0 ≤ t ≤ 2 π

求める積分。

∫ C F = ∫ 0 2 π ( - sin t + 3 cos t , cos t + 3 sin t ) · ( - sin t , cos t ) dt = ∫ 0 2 π 1 dt = 2 π

c

原点を含めると、

∫ C F ≠ 0

であるような閉曲線が存在するのでポテンシャル関数をもたない。

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

VectorPlot[
    1/(x^2+y^2){-y+3x,x+3y},
    {x, 1, 2},
    {y, 1, 2}
]
Output
VectorPlot[
    1/(x^2+y^2){-y+3x,x+3y},
    {x, -1, 1},
    {y, 0.2, 1},
    AspectRatio -> {2, 1}
]
Output
VectorPlot[
    1/(x^2+y^2){-y+3x,x+3y},
    {x, -1, 1},
    {y, -1, -0.2},
    AspectRatio -> {2, 1}
]
Output