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線積分 ポテンシャル関数をもつベクトル場の線積分 ポテンシャル関数を持たない場合、線分、円、弧、極座標表示

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第6章(線積分)、3(ポテンシャル関数をもつベクトル場の線積分)の練習問題9の解答を求めてみる。

a

∫ x 2 y dx = 1 3 x 3 y + f ( y ) d dy ( 1 3 x 3 y + f ( y ) ) = 1 3 x 3 + d f dy 1 3 x 3 + d f dy = x y 2 d f dy = x y 2 - 1 3 x 3 f = 1 3 x y 3 - 1 3 x 3 y

ポテンシャル関数をもたない。

b

直線のパラメーター表示。

C ( t ) = ( t , t ) 0 ≤ t ≤ 1 2

求める積分。

∫ O , C p F = ∫ 0 1 2 ( t 3 , t 3 ) · ( 1 , 1 ) dt = 2 ∫ 0 1 2 t 3 dt = 1 2 [ t 4 ] 0 1 2 = 1 8

c

C 1 ( t ) = ( t , 0 ) 0 ≤ t ≤ 1 C 2 ( t ) = ( cos t , sin t ) 0 ≤ t ≤ π 4

求める積分。

∫ C 1 F + ∫ C 2 F = ∫ 0 1 ( 0 , 0 ) · ( 1 , 0 ) dt + ∫ 0 π 4 ( cos 2 t sin t , cos t sin 2 t ) · ( - sin t , cos t ) dt = ∫ 0 π 4 ( - cos 2 t sin 2 t + cos 2 t sin 2 t ) dt = 0

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

VectorPlot[
    {x^2 y, x y^2},
    {x, 0, 1},
    {y, 0, 1}
]
Output