線形写像線形写像の空間ノルム、最大値

学習環境

解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第15章(線形写像)、15.2(線形写像の空間)、問題4の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} [\begin{matrix} 3 & 4 \\ 4 & 3 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} 3 x + 4 y \\ 4 x + 3 y \end{matrix}] \\ f (x, y) = {(3 x + 4 y)}^{2} + {(4 x + 3 y)}^{2} \\ = 25 x^{2} + 48 x y + 25 y^{2} \end{array}

また、

\begin{array}{l} \frac{\partial f}{\partial x} = 50 x + 48 y \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 50 y + 48 x \\ {\begin{cases} 50 x + 48 y = 0 \\ 48 x + 50 y = 0 \end{cases} \\ 2 x - 2 y = 0 \\ x = y \end{array}

よって、

| (x, y) | = 1

のとき、

x = y = \frac{1}{\sqrt{2}}

において最大値となる。

よって、求める線形変換Lのノルムは、

\begin{array}{l} ∥ L ∥ = \max_{| x | = 1} L (x, y) \\ = \sqrt{25 + 48 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}} \\ = \sqrt{49} \\ = 7 \end{array}

\begin{array}{l} [\begin{matrix} 4 & 0 \\ - 3 & 5 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} 4 x \\ - 3 x + 5 y \end{matrix}] \\ f (x, y) = {(4 x)}^{2} + {(- 3 x + 5 y)}^{2} \\ = 25 x^{2} - 30 x y + 25 y^{2} \\ = 25 (x^{2} + y^{2}) - 30 x y \\ \frac{\partial f}{\partial x} = 50 x - 30 y \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 50 y - 30 x \\ {\begin{cases} 50 x - 30 y = 0 \\ - 30 x + 50 y = 0 \end{cases} \\ y = - x \\ | (x, y) | = 1 \\ x^{2} + {(- x)}^{2} = 1 \\ x = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}

よって、

\begin{array}{l} ∥ L ∥ = \max_{| x | = 1} L (x) \\ = \sqrt{25 + 15} \\ = \sqrt{40} \\ = 2 \sqrt{10} \end{array}

コード、出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

Plot3D[Sqrt[25x^2+48x y+25y^2], {x, -1, 1}, {y, -1, 1},
       AxesLabel -> Automatic]

Plot3D[Sqrt[25x^2-30x y+25y^2], {x, -1, 1}, {y, -1, 1},
       AxesLabel -> Automatic]