確からしさをみる - 確率確率とその性質確率の計算色付きの球、壺、極限

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新装版数学読本4 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第16章(確からしさをみる - 確率)、16.1(確率とその性質)、確率の計算の問9、10、11の解答を求めてみる。

問 9

\begin{array}{l} \frac{(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 12 \\ 2 \end{matrix})} \\ = \frac{2}{12 \cdot 11} (3 + \frac{4 \cdot 3}{2} + \frac{5 \cdot 4}{2}) \\ = \frac{1}{66} (3 + 6 + 10) \\ = \frac{19}{66} \end{array}

余事象で考える。

\begin{array}{l} 1 - \frac{(\begin{matrix} 7 \\ 2 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 12 \\ 2 \end{matrix})} \\ = 1 - \frac{2}{12 \cdot 11} \cdot \frac{7 \cdot 6}{2} \\ = 1 - \frac{7}{22} \\ = \frac{15}{22} \end{array}

問10

\begin{array}{l} \frac{(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 8 \\ 4 \end{matrix})} \\ = \frac{4 \cdot 3}{2} \cdot \frac{4 \cdot 3}{2} \cdot \frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5} \\ = \frac{3 \cdot 2 \cdot 3}{7 \cdot 5} \\ = \frac{18}{35} \end{array}

\begin{array}{l} 1 - \frac{1}{(\begin{matrix} 8 \\ 4 \end{matrix})} \\ = 1 - \frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5} \\ = 1 - \frac{1}{7 \cdot 2 \cdot 5} \\ = 1 - \frac{1}{70} \\ = \frac{69}{70} \end{array}

問11

\begin{array}{l} p_{n} = 2 \cdot \frac{(\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 2 n \\ 2 \end{matrix})} \\ = 2 \cdot \frac{n \cdot (n - 1)}{2} \cdot \frac{2}{2 n (2 n - 1)} \\ = \frac{n - 1}{2 n - 1} \end{array}

\begin{array}{l} q_{n} = 1 - \frac{n - 1}{2 n - 1} \\ = 1 - \frac{n - 1}{2 n - 1} \\ = \frac{2 n - 1 - n + 1}{2 n - 1} \\ = \frac{n}{2 n - 1} \end{array}

q_{n}

の方が大きい。

\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} p_{n} \\ = \lim_{n \to \infty} \frac{n - 1}{2 n - 1} \\ = \frac{1}{2} \end{array}

\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} q_{n} \\ = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2 n - 1} \\ = \frac{1}{2} \end{array}