確からしさをみる - 確率確率とその性質確率の計算くじ、当たりと外れ、余事象

学習環境

新装版数学読本4 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第16章(確からしさをみる - 確率)、16.1(確率とその性質)、確率の計算の問7の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \frac{(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 20 \\ 2 \end{matrix})} \\ = \frac{5 \cdot 4}{2} \cdot \frac{2}{20 \cdot 19} \\ = \frac{1}{19} \end{array}

余事象で考える。

\begin{array}{l} 1 - \frac{(\begin{matrix} 20 - 5 \\ 2 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 20 \\ 2 \end{matrix})} \\ = 1 - \frac{15 \cdot 14}{2} \cdot \frac{2}{20 \cdot 19} \\ = 1 - \frac{21}{38} \\ = \frac{17}{38} \end{array}

\begin{array}{l} 1 - \frac{(\begin{matrix} 20 - 5 \\ 3 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 20 \\ 3 \end{matrix})} \\ = 1 - \frac{15 \cdot 14 \cdot 13}{3 \cdot 2} \cdot \frac{3 \cdot 2}{20 \cdot 19 \cdot 18} \\ = 1 - \frac{91}{228} \\ = \frac{137}{228} \end{array}

\begin{array}{l} \frac{137}{228} - \frac{(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 20 \\ 3 \end{matrix})} \\ = \frac{137}{228} - \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{20 \cdot 19 \cdot 18} \\ = \frac{137}{228} - \frac{2}{228} \\ = \frac{135}{228} \\ = \frac{45}{76} \end{array}