数学のブログ

整数 約数と倍数 互いに素な整数の和と差との最大公約数

親切な代数学演習 新装2版―整数・群・環・体 (加藤 明史(著)、現代数学社)の第Ⅰ部(整数)、第1章(約数と倍数)の問25の解答を求めてみる。

a - b , a + b

の最大公約数をgとする。

( a - b , a + b ) = g

このとき

g | ( a + b ) + ( a - b ) = 2 a g | ( a + b ) - ( a - b ) = 2 b

すなわち g は2a、2bの公約数である。

また、

( 2 a , 2 b ) = 2 ( a , b ) = 2

よって、 g は 1または2である。

（証明終）