数学のブログ

整数約数と倍数フィボナッチ数列、隣接する2項、互いに素、ユークリッド互除法、帰納法

親切な代数学演習新装2版―整数・群・環・体
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親切な代数学演習新装2版―整数・群・環・体 (加藤明史(著)、現代数学社)の第Ⅰ部(整数)、第1章(約数と倍数)の問24の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2} \\ 0 \leq a_{n - 2} < a_{n} - 1 \end{array}

よって、ユークリッド互除法により、

(a_{n}, a_{n - 1}) = (a_{n - 1}, a_{n - 2}) = 1

ゆえに、帰納法により、フィボナッチ数列の任意の隣接する2項は互いに素である。

（証明終）