数列と関数数列漸化式 2次方程式の解

学習環境

現代数学への入門微分と積分1 初等関数を中心に (青本和彦(著)、岩波書店)の第1章(数列と関数)、1.1(数列)、b(漸化式)の問8の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} α^{n} = λ α^{n - 1} - α^{n - 2} \\ α^{n - 2} (α^{2} - λ α + 1) = 0 \\ α = \frac{λ \pm \sqrt{λ^{2} - 4}}{2} \end{array}

\begin{array}{l} \frac{λ + \sqrt{λ^{2} - 4}}{2} + \frac{λ - \sqrt{λ^{2} - 4}}{2} = λ \\ \frac{λ + \sqrt{λ^{2} - 4}}{2} \cdot \frac{λ - \sqrt{λ^{2} - 4}}{2} = \frac{λ^{2} - (λ^{2} - 4)}{4} = 1 \end{array}

\begin{array}{l} x_{n} - \frac{λ + \sqrt{λ^{2} - 4}}{2} x_{n - 1} = \frac{λ - \sqrt{λ^{2} - 4}}{2} (x_{n - 1} - \frac{λ^{2} + \sqrt{λ^{2} - 4}}{2} x_{n - 2}) \\ x_{n} - \frac{λ - \sqrt{λ^{2} - 4}}{2} x_{n - 1} = \frac{λ + \sqrt{λ^{2} - 4}}{2} (x_{n - 1} - \frac{x^{2} - \sqrt{λ^{2} - 4}}{z} x_{n - 2}) \end{array}

\begin{array}{l} x_{n} - \frac{λ + \sqrt{λ^{2} - 4}}{2} x_{n - 1} = {(\frac{λ - \sqrt{λ^{2} - 4}}{2})}^{n - 2} (x_{2} - \frac{λ^{2} + \sqrt{λ^{2} - 4}}{2} x_{1}) \\ x_{n} - \frac{λ - \sqrt{λ^{2} - 4}}{2} x_{n - 1} = {(\frac{λ + \sqrt{λ^{2} - 4}}{2})}^{n - 2} (x_{2} - \frac{λ^{2} - \sqrt{λ^{2} - 4}}{2} x_{1}) \end{array}

\begin{array}{l} \sqrt{λ^{2} - 4} x_{n - 1} \\ = {(\frac{λ + \sqrt{λ^{2} - 4}}{2})}^{n - 2} (x_{2} - \frac{λ^{2} - \sqrt{λ^{2} - 4}}{2} x_{1}) - {(\frac{λ - \sqrt{λ^{2} - 4}}{2})}^{n - 2} (x_{2} - \frac{λ^{2} + \sqrt{λ^{2} - 4}}{2} x_{1}) \end{array}

よって、

x_{1} = 1, x_{2} = 0

のとき、

\begin{array}{l} x_{n} \\ = \frac{1}{\sqrt{λ^{2} - 4}} ({(\frac{λ + \sqrt{λ^{2} - 4}}{2})}^{n - 1} (- \frac{λ^{2} - \sqrt{λ^{2} - 4}}{2}) - {(\frac{λ - \sqrt{λ^{2} - 4}}{2})}^{n - 1} (- \frac{λ^{2} + \sqrt{λ^{2} - 4}}{2})) \end{array}

x_{1} = 0, x_{2} = 1

のとき、

x_{n} = \frac{1}{\sqrt{λ^{2} - 4}} ({(\frac{λ + \sqrt{λ^{2} - 4}}{2})}^{n - 1} - {(\frac{λ - \sqrt{λ^{2} - 4}}{2})}^{n - 1})