数列と関数数列漸化式等比数列、初項、公比、一般項、積、商

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現代数学への入門微分と積分1 初等関数を中心に (青本和彦(著)、岩波書店)の第1章(数列と関数)、1.1(数列)、b(漸化式)の問5の解答を求めてみる。

問題の2つの等比数列の一般項は、それぞれ

\begin{array}{l} a_{n} = a_{1} r^{n - 1} \\ b_{n} = b_{1} s^{n - 1} \end{array}

よって、

\begin{array}{l} a_{n} b_{n} \\ = (a_{1} r^{n - 1}) (b_{1} s^{n - 1}) \\ = (a_{1} b_{1}) {(r s)}^{n - 1} \end{array}

ゆえに、数列

{(a_{n} b_{n})}_{n \in ℕ}

は初項、公比がそれぞれ

\begin{array}{l} a_{1} b_{1} \\ r s \end{array}

の等比数列である。

また、

\frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{a_{1} r^{n - 1}}{b_{1} s^{n - 1}} = \frac{a_{1}}{b_{1}} {(\frac{r}{s})}^{n - 1}

よって、数列

{(\frac{a_{n}}{b_{n}})}_{n \in ℕ}

は初項、公比がそれぞれ

\begin{array}{l} \frac{a_{1}}{b_{1}} \\ \frac{r}{s} \end{array}

の等比数列である。