数列と関数数列漸化式数列の定数倍の数列、2つの数列の和、積、商、級数の数列、一般項

学習環境

現代数学への入門微分と積分1 初等関数を中心に (青本和彦(著)、岩波書店)の第1章(数列と関数)、1.1(数列)、b(漸化式)の問9の解答を求めてみる。

c_{n} = α n

c_{n} = n + {(- 1)}^{n - 1}

c_{n} = {(- 1)}^{n - 1} n

c_{n} = \frac{n}{{(- 1)}^{n - 1}} = {(- 1)}^{1 - n} n

\begin{array}{l} c_{n} = \sum_{k = 1}^{n} k {(- 1)}^{n - k} . \\ n \equiv 0 (m o d 2) \\ c_{n} = \sum_{k = 1}^{n} k {(- 1)}^{k} \\ = - 1 + 2 - 3 + \dots - (n - 1) + n \\ = \frac{n}{2} \\ n \equiv 1 (m o d 2) \\ c_{n} = \sum_{k = 1}^{n} k {(- 1)}^{k + 1} \\ = 1 - 2 + \dots + (n - 2) - (n - 1) + n \\ = - \frac{n - 1}{2} + n \\ = \frac{n + 1}{2} \end{array}

a_{n} = α x^{n}

c_{n} = x^{n} + y^{n}

c_{n} = {(x y)}^{n}

c_{n} = {(\frac{x}{y})}^{n}

\begin{array}{l} c_{n} = \sum_{k = 1}^{n} x^{k} y^{n + 1 - k} \\ = x y \sum_{k = 1}^{n} x^{k - 1} y^{n - k} \\ = \frac{x y}{x - y} (x - y) \sum_{k = 1}^{n} x^{k - 1} y^{n - k} \\ = \frac{x y}{x - y} \sum_{k = 1}^{n} (x^{k} y^{n - k} - x^{k - 1} y^{n - k + 1}) \\ = \frac{x y}{x - y} (x^{n} - y^{n}) \end{array}