数列と関数数列数列の和一般項、帰納法

学習環境

現代数学への入門微分と積分1 初等関数を中心に (青本和彦(著)、岩波書店)の第1章(数列と関数)、1.1(数列)、c(数列の和)の問12の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} S_{1} \\ = 1 + m - 1 \\ = m \\ = \frac{1 + m}{m + 1} \end{array}

また、

\begin{array}{l} S_{N} \\ = S_{N - 1} + a_{N} \\ = \frac{1}{m + 1} \prod_{k = 0}^{m} (N - 1 + k) + \prod_{k = 0}^{m - 1} (N + k) \\ = \frac{1}{m + 1} \prod_{k = 0}^{m} (N - 1 + k) + \prod_{k = 1}^{m} (N - 1 + k) \\ = (\frac{N - 1}{m + 1} + 1) \prod_{k = 1}^{m} (N - 1 + k) \\ = \frac{N + m}{m + 1} \prod_{k = 1}^{m} (N - 1 + k) \\ = \frac{1}{m + 1} \prod_{k = 0}^{m} (N + k) \end{array}

よって帰納法により成り立つ。

（証明終）

\begin{array}{l} S_{N} \\ = S_{N - 1} + a_{N} \\ = \frac{1}{m} (\frac{1}{m!} - \frac{1}{\prod_{k = 1}^{m} (N - 1 + k)}) + \frac{1}{\prod_{k = 0}^{m} (N + k)} \\ = \frac{1}{m} (\frac{1}{m!} - \frac{1}{\prod_{k = 1}^{m} (N - 1 + k)} + \frac{m}{\prod_{k = 0}^{m} (N + k)}) \\ = \frac{1}{m} (\frac{1}{m!} - \frac{N + m - m}{\prod_{k = 0}^{m} (N + k)}) \\ = \frac{1}{m} (\frac{1}{m!} - \frac{N}{\prod_{k = 0}^{m} (N + k)}) \\ = \frac{1}{m} (\frac{1}{m!} - \frac{1}{\prod_{k = 1}^{m} (N + k)}) \end{array}

よって、帰納法により成り立つ。

（証明終）