数列と関数数列の極限数列の極限無限級数、発散、不等式、逆数、調和級数、一般化

学習環境

現代数学への入門微分と積分1 初等関数を中心に (青本和彦(著)、岩波書店)の第1章(数列と関数)、1.2(数列の極限)、b(数列の極限)の問18の解答を求めてみる。

Nを

N > a \geq 0

を満たすある整数とする。

このとき、

\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{a + k} \\ \geq \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{N + k} \\ = \sum_{k = 1}^{n + k} \frac{1}{k} - \sum_{k = 1}^{N} \frac{1}{k} \end{array}

また、

\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} (\sum_{k = 1}^{n + k} \frac{1}{k} - \sum_{k = 1}^{N} \frac{1}{k}) \\ = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n + k} \frac{1}{k} - \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{N} \frac{1}{k} \\ = \infty \end{array}

よって、

\begin{array}{l} a \geq 0 \\ \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{a + k} = \infty \end{array}

（証明終）