数列と関数数列の極限数列の極限和、差、積、商

学習環境

現代数学への入門微分と積分1 初等関数を中心に (青本和彦(著)、岩波書店)の第1章(数列と関数)、1.2(数列の極限)、b(数列の極限)の問17の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} \frac{a n + b}{\sqrt{n^{2} + n + 1}} \\ = \lim_{n \to \infty} \frac{a + \frac{b}{n}}{\sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}}} \\ = a \end{array}

\begin{array}{l} 0 < c < 1 \\ \lim_{n \to \infty} \frac{c^{n} - c^{- n}}{c^{n} + c^{- n}} \\ = \lim_{n \to \infty} \frac{c^{2 n} - 1}{c^{2 n} + 1} \\ = \frac{- 1}{1} \\ = - 1 \end{array}

\begin{array}{l} c = 1 \\ \lim_{n \to \infty} \frac{c^{n} - c^{- n}}{c^{n} + c^{- n}} \\ = \lim_{n \to \infty} \frac{1 - 1}{1 + 1} \\ = 0 \end{array}

\begin{array}{l} c > 1 \\ \lim_{n \to \infty} \frac{c^{n} - c^{- n}}{c^{n} + c^{- n}} \\ = \lim_{n \to \infty} \frac{1 - c^{- 2 n}}{1 + c^{- 2 n}} \\ = \frac{1}{1} \\ = 1 \end{array}