数列と関数数列の極限数列の極限収束、累乗、指数、累乗根(平方根)、式の変形

学習環境

現代数学への入門微分と積分1 初等関数を中心に (青本和彦(著)、岩波書店)の第1章(数列と関数)、1.2(数列の極限)、b(数列の極限)の問16の解答を求めてみる。

r = 0

のとき、

\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} n^{r} \\ = \lim_{n \to \infty} n^{0} \\ = \lim_{n \to \infty} 1 \\ = 1 \end{array}

r > 0

のとき、

\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} n^{r} \\ = \lim_{n \to \infty} {(n^{\frac{1}{r}})}^{r} \\ = \lim_{n \to \infty} n \\ = \infty \end{array}

r < 0

のとき、

\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} n^{r} \\ = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{- r}} \\ = 0 \end{array}

\begin{array}{l} n \geq 2 \\ 0 < \frac{n}{2^{n}} < \frac{n}{n^{n}} = \frac{1}{n^{(n - 1)}} \to 0 \end{array}

よって、

\lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^{n}} = 0

\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}) \\ = \lim_{n \to \infty} \frac{n + 1 - n}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} \\ = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} \\ = 0 \end{array}