“場合の数”をかぞえる - 順列・組合せ二項定理多項定理の性質項の種類、重複組合せ、型、係数

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新装版数学読本4 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第15章(“場合の数”をかぞえる - 順列・組合せ)、15.3(二項定理)、多項定理の性質の問46の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} (\begin{matrix} 4 + 6 - 1 \\ 6 \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} 9 \\ 6 \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} 9 \\ 3 \end{matrix}) \\ = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2} \\ = 3 \cdot 4 \cdot 7 \\ = 84 \end{array}

よって84種類の項が現れる。

異なる型について。

\begin{array}{l} p \geq q \geq r \geq s \geq 0 \\ p + q + r + s = 6 \\ p = 6, q = r = s = 0 \\ p = 5, q = 1, r = s = 0 \\ p = 4, q = 2, r = s = 0 \\ p = 4, q = r = 1, s = 0 \\ p = 3, q = 3, r = s = 0 \\ p = 3, q = 2, r = 1, s = 0 \\ p = 3, q = 1, r = 1, s = 1 \\ p = 2, q = 2, r = 2, s = 0 \\ p = 2, q = 2, r = s = 1 \end{array}

よって異なる型は9つある。

それぞれの型の代表とその係数。

\begin{array}{l} a^{6} \\ \frac{6!}{6!} = 1 \\ a^{5} b \\ \frac{6!}{5!} = 6 \\ a^{4} b^{2} \\ \frac{6!}{4! 2!} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15 \\ a^{4} b c \\ \frac{6!}{4!} = 30 \\ a^{3} b^{3} \\ \frac{6!}{3! 3!} = 20 \\ a^{3} b^{2} c \\ \frac{6!}{3! 2!} = 6 \cdot 5 \cdot 2 = 60 \\ a^{3} b c d \\ \frac{6!}{3!} = 120 \\ a^{2} b^{2} c^{2} \\ \frac{6!}{2! 2! 2!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{4} = 90 \\ a^{2} b^{2} c d \\ \frac{6!}{2! 2!} = 6 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2 = 180 \end{array}