“場合の数”をかぞえる - 順列・組合せ二項定理多項定理の性質係数、階乗、整数の組合せ

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新装版数学読本4 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第15章(“場合の数”をかぞえる - 順列・組合せ)、15.3(二項定理)、多項定理の性質の問45の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \frac{7!}{p! q! r!} {(x^{2})}^{p} {(- 3 x)}^{q} \cdot 4^{r} \\ = \frac{7!}{p! q! \cdot r!} {(- 3)}^{q} \cdot 4^{r} x^{2 p + q} \\ p \geq 0, q \geq 0, r \geq 0 \\ p + q + r = 7 \end{array}

x^{2}

の係数について。

2 p + q = 2

を満たすp 、 q 、 r 。

\begin{array}{l} p = 0, q = 2, r = 5 \\ p = 1, q = 0, r = 6 \end{array}

よって求める係数は、

\begin{array}{l} \frac{7!}{0! 2! 5!} {(- 3)}^{2} \cdot 4^{5} + \frac{7!}{1! 0! 6!} {(- 3)}^{0} \cdot 4^{6} \\ = 21 \cdot 9 \cdot 4^{5} + 7 \cdot 4^{6} \\ = (189 + 28) \cdot 4^{5} \\ = 222208 \end{array}

x^{5}

の係数について。

\begin{array}{l} 2 p + q = 5 \\ p = 0, q = 5, r = 2 \\ p = 1, q = 3, r = 3 \\ p = 2, q = 1, r = 4 \end{array}

\begin{array}{l} \frac{7!}{5! 2!} {(- 3)}^{5} \cdot 4^{2} + \frac{7!}{3! 3!} {(- 3)}^{3} \cdot 4^{3} + \frac{7!}{2! 4!} (- 3) \cdot 4^{4} \\ = (21 {(- 3)}^{4} + 140 {(- 3)}^{2} \cdot 4 + 105 \cdot 4^{2}) (- 3) \cdot 4^{2} \\ = (1701 + 5040 + 1680) (- 48) \\ = - 404208 \end{array}

x^{10}

の係数について。

\begin{array}{l} 2 p + q = 10 \\ p = 3, q = 4, r = 0 \\ p = 4, q = 2, r = 1 \\ p = 5, q = 0, r = 2 \end{array}

\begin{array}{l} \frac{7!}{3! 4!} {(- 3)}^{4} + \frac{7!}{4! 2!} {(- 3)}^{2} \cdot 4 + \frac{7!}{5! 2!} 4^{2} \\ = 2835 + 3780 + 336 \\ = 6951 \end{array}