“場合の数”をかぞえる - 順列・組合せ二項定理二項定理の応用、二項係数の性質等式の証明

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新装版数学読本4 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第15章(“場合の数”をかぞえる - 順列・組合せ)、15.3(二項定理)、二項定理の応用、二項係数の性質の問40の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} r \cdot (\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) \\ = \frac{r \cdot n!}{(n - r)! r!} \\ = \frac{n!}{(n - r)! (r - 1)!} \\ = n \cdot \frac{(n - 1)!}{(n - r)! (r - 1)!} \\ = n \cdot \frac{(n - 1)!}{((n - 1) - (r - 1))! (r - 1)!} \\ = n \cdot (\begin{matrix} n - 1 \\ r - 1 \end{matrix}) \end{array}

\begin{array}{l} \sum_{r = 1}^{n} r (\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) \\ = \sum_{r = 1}^{n} n (\begin{matrix} n - 1 \\ r - 1 \end{matrix}) \\ = n \sum_{r = 1}^{n} (\begin{matrix} n - 1 \\ r - 1 \end{matrix}) \\ = n \sum_{r = 0}^{n - 1} (\begin{matrix} n - 1 \\ r \end{matrix}) \\ = n {(1 + 1)}^{n - 1} \\ = n \cdot 2^{n - 1} \end{array}