“場合の数”をかぞえる - 順列・組合せ二項定理二項定理の応用、二項係数の性質展開、係数の比較、等式の証明

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新装版数学読本4 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第15章(“場合の数”をかぞえる - 順列・組合せ)、15.3(二項定理)、二項定理の応用、二項係数の性質の問41の解答を求めてみる。

左辺について。

\begin{array}{l} {(1 + x)}^{m} {(1 + x)}^{n} \\ = {(1 + x)}^{m + n} \\ = \sum_{r = 0}^{m + n} (\begin{matrix} m + n \\ r \end{matrix}) x^{r} \end{array}

右辺について。

\begin{array}{l} (\sum_{r = 0}^{m} (\begin{matrix} m \\ r \end{matrix}) x^{r}) (\sum_{r = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) x^{r}) \\ = \sum_{r = 0}^{m + n} (\sum_{s = 0}^{r} (\begin{matrix} m \\ s \end{matrix}) (\begin{matrix} n \\ r - s \end{matrix}) x^{s} x^{r - s}) \\ = \sum_{r = 0}^{m + n} (\sum_{s = 0}^{r} (\begin{matrix} m \\ s \end{matrix}) (\begin{matrix} n \\ r - s \end{matrix})) x^{r} \end{array}

よって、係数を比較すれば、

(\begin{matrix} m + n \\ r \end{matrix}) = \sum_{s = 0}^{r} (\begin{matrix} m \\ s \end{matrix}) (\begin{matrix} n \\ r - s \end{matrix})

（証明終）