“場合の数”をかぞえる - 順列・組合せ二項定理二項定理の応用、二項係数の性質両端と中央、大小

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新装版数学読本4 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第15章(“場合の数”をかぞえる - 順列・組合せ)、15.3(二項定理)、二項定理の応用、二項係数の性質の問42の解答を求めてみる。

r を

0 \leq r \leq n - 1

を満たす整数とする。

\begin{array}{l} \frac{(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix})}{(\begin{matrix} n \\ r + 1 \end{matrix})} \\ = \frac{n!}{(n - r)! r!} \cdot \frac{(n - (r + 1))! (r + 1)!}{n!} \\ = \frac{r + 1}{n - r} \\ (r + 1) - (n - r) \\ = 2 r + 1 - n \end{array}

よって、

\begin{array}{l} 2 r + 1 - n > 0 \\ r > \frac{n - 1}{2} \end{array}

のとき

(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) > (\begin{matrix} n \\ r + 1 \end{matrix})

r < \frac{n - 1}{2}

のとき

(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) < (\begin{matrix} n \\ r + 1 \end{matrix})

よって、二項係数

\begin{array}{l} (\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) \\ (r = 0, \dots, n) \end{array}

は両端に近づくほど小さく、中央に近づくほど大きい。

（証明終）