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“場合の数”をかぞえる - 順列・組合せ二項定理二項定理の応用、二項係数の性質一般項、係数、定数項

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学習環境

新装版数学読本4 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第15章(“場合の数”をかぞえる - 順列・組合せ)、15.3(二項定理)、二項定理の応用、二項係数の性質の問38、39の解答を求めてみる。

問38

一般項。

\begin{array}{l} (\begin{matrix} 9 \\ k \end{matrix}) x^{k} {(- \frac{1}{x})}^{9 - k} \\ = {(- 1)}^{9 - k} (\begin{matrix} 9 \\ k \end{matrix}) x^{2 k - 9} \end{array}

問題の展開したとき

x^{3}

の係数は

\begin{array}{l} 2 k - 9 = 3 \\ k = 6 \end{array}

のときて考えればよくて、

\begin{array}{l} {(- 1)}^{9 - 6} (\begin{matrix} 9 \\ 6 \end{matrix}) = - \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} \\ = - 84 \end{array}

また、

x^{2}

の係数。

\begin{array}{l} 2 k - 9 = 2 \\ k = \frac{11}{2} \\ 0 \end{array}

x^{- 1}

の係数は、

\begin{array}{l} 2 k - 9 = - 1 \\ k = 4 \\ {(- 1)}^{9 - 4} (\begin{matrix} 9 \\ 4 \end{matrix}) \\ = - \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2} \\ = - 126 \end{array}

問 39

\begin{array}{l} (\begin{matrix} 6 \\ k \end{matrix}) {(3 x^{2})}^{k} {(\frac{1}{2 x})}^{6 - k} \\ = 3^{k} \cdot 2^{k - 6} (\begin{matrix} 6 \\ k \end{matrix}) x^{3 k - 6} \end{array}

x^{6}

の係数。

\begin{array}{l} 3 k - 6 = 6 \\ k = 4 \\ 3^{4} \cdot 2^{- 2} (\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \\ = \frac{81}{4} \cdot \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} \\ = \frac{1215}{4} \end{array}

\begin{array}{l} 3 k - 6 = 4 \\ k = \frac{10}{3} \\ 0 \end{array}

\begin{array}{l} 3 k - 6 = - 3 \\ k = 1 \\ 3 \cdot 2^{- 5} (\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix}) \\ = \frac{3 \cdot 6}{32} \\ = \frac{9}{16} \end{array}

定数項。

\begin{array}{l} 3 k - 6 = 0 \\ k = 2 \\ 3^{2} \cdot 2^{- 4} (\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix}) \\ = \frac{9}{16} \cdot \frac{6 \cdot 5}{2} \\ = \frac{135}{16} \end{array}