連立1次方程式基本変形 2次正方行列、階数、非零列ベクトル、スカラー倍、転置行列

学習環境

手を動かしてまなぶ線形代数 (藤岡敦(著)、裳華房)の第2章(連立1次方程式)、4(基本変形)、チャレンジ問題の問4.4の解答を求めてみる。

階級が1なので、非零列ベクトル aが存在が存在する。

また、a以上の列ベクトルはaのスカラー倍である。

よって、a以外のある列ベクトルを

b = c a

とおくことができる。

このとき、

\begin{array}{l} a b^{T} = [\begin{matrix} a_{1 j} \\ ⋮ \\ a_{n j} \end{matrix}] [\begin{matrix} c a_{1 j} & \dots & c a_{n j} \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} c a_{1 j}^{2} & c a_{1 j} a_{2 j} & \dots & c a_{1 j} a_{n j} \\ c a_{2 j} a_{1 j} & c a_{2 j}^{2} & \dots & c a_{2 j} a_{n j} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ c a_{n j} a_{1 j} & c a_{n j} a_{2 j} & \dots & c a_{n j}^{2} \end{matrix}] \end{array}