数学のブログ

連立1次方程式基本変形階数標準形、階数

手を動かしてまなぶ線形代数
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学習環境

手を動かしてまなぶ線形代数 (藤岡敦(著)、裳華房)の第2章(連立1次方程式)、4(基本変形)、確認問題の問4.1の解答を求めてみる。

1

階数標準形。

\begin{array}{l} [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 3 & - 2 \\ 5 & - 4 \end{matrix}] \\ [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 2 \\ 0 & - 4 \end{matrix}] \\ [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}] \end{array}

階数は2。

2

階数標準形。

\begin{array}{l} [\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] \\ [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] \end{array}

階数は2。

3

階数標準形。

a = 1

のとき、

\begin{array}{l} [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}] \\ [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] \\ [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] \end{array}

階数は1。

\begin{array}{l} a \neq 1 \\ [\begin{matrix} 0 & 1 - a^{2} & 1 - a \\ 1 & a & 1 \\ 0 & 1 - a & a - 1 \end{matrix}] \\ [\begin{matrix} 0 & 1 - a^{2} & 1 - a \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 - a & a - 1 \end{matrix}] \\ [\begin{matrix} 0 & 1 - a^{2} & 1 - a \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - a & a - 1 \end{matrix}] \\ [\begin{matrix} 0 & - a^{2} - a + 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - a & a - 1 \end{matrix}] \\ [\begin{matrix} 0 & - (a + 2) (a - 1) & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a - 1 \end{matrix}] \\ [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & - (a + 2) (a - 1) & 0 \\ 0 & 0 & a - 1 \end{matrix}] \end{array}

よって、

a = - 2

のとき、

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

で階級は2。

a \neq - 2

のとき、

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

で階数は3。