行列行列の演算ケイリー・ハミルトンの定理

学習環境

手を動かしてまなぶ線形代数 (藤岡敦(著)、裳華房)の第1章(行列)、2(行列の演算)、基本問題の問2.6の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} A^{2} - (a + d) A + (a d - b c) E \\ = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] - (a + d) [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] + [\begin{matrix} a d - b c & 0 \\ 0 & a d - b c \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} a^{2} + b c & a b + b d \\ a c + c d & b c + d^{2} \end{matrix}] - [\begin{matrix} a^{2} + a d & a b + b d \\ a c + c d & a d + d^{2} \end{matrix}] + [\begin{matrix} a d - b c & 0 \\ 0 & a d - b c \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] \\ = O \end{array}