数学のブログ

行列 行列の分割 正方行列、積、零行列、可換

手を動かしてまなぶ 線形代数 (藤岡 敦(著)、裳華房)の第1章(行列)、3(行列の分割)、基本問題の問3.4、3.5の解答を求めてみる。

問3.4

[ O A 12 A 13 O A 22 A 23 O O A 33 ] [ B 11 B 12 B 13 O O B 23 O O B 33 ] [ C 11 C 12 C 13 O C 22 C 23 O O O ] = [ O O A 12 B 13 + A 13 B 33 O O A 22 B 23 + A 23 B 33 O O A 33 B 33 ] [ C 11 C 12 C 13 O C 22 C 23 O O O ] = [ O O O O O O O O O ]

問3.5

A X = [ a E m O m , n O n , m b E n ] [ X 11 X 12 X 21 X 22 ] = [ a X 11 a X 12 b X 21 b X 22 ]
X A = [ X 11 X 12 X 21 X 22 ] [ a E m O m , n O n , m b E n ] = [ a X 11 b X 12 a X 21 b X 22 ]

よって、 正方行列 AとXが可換となるのは、

a X 12 = b X 12 b X 21 = a X 21

のときで、仮定よりaとbは異なるので、

X 12 , X 21

が零行列のとき、A と Xは可換となる。