行列行列の分割正方行列、列ベクトル、積、零行列

学習環境

手を動かしてまなぶ線形代数 (藤岡敦(著)、裳華房)の第1章(行列)、3(行列の分割)、チャレンジ問題の問3.6の解答を求めてみる。

Aが零行列ならば、任意のn次の列ベクトルxに対して

A x = O

また、任意の n次の列ベクトルx に対して、

A x = O

のとき、 Aが零行列ではないと仮定する。

A \neq O

このとき、

\begin{array}{l} a_{i j} \neq 0 \\ 1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq n \end{array}

を満たす i,j が存在する。

n次の列ベクトルx

\begin{array}{l} k = j \\ x_{k} = 1 \\ k \neq j \\ x_{k} = 0 \\ x = [\begin{matrix} x_{1} \\ . \\ . \\ . \\ x_{n} \end{matrix}] \end{array}

に対して、

\begin{array}{l} A x = [\begin{matrix} b_{1} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix}] \\ k = j \\ b_{k} = a_{k} \\ k \neq j \\ b_{k} = 0 \end{array}

となり、

A x \neq O

なので、矛盾。

よって、n次の正方行列Aが任意のn次の列ベクトルに対して

A x = O

ならば、 Aは零行列である。