行列式行列式の展開 4次、計算

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線形代数演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (浅野功義(著)、大関清太(著)、岩波書店)の第3章(行列式)、3-2(行列式の展開)、問題1の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \det [\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & - 1 & 1 \\ 2 & 0 & 3 & 1 \\ 3 & - 4 & 2 & 0 \end{matrix}] \\ = \det [\begin{matrix} 2 & - 1 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ - 4 & 2 & 0 \end{matrix}] + \det [\begin{matrix} 3 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & - 4 & 0 \end{matrix}] \\ = 2 \det [\begin{matrix} 3 & 1 \\ 2 & 0 \end{matrix}] - 4 \det [\begin{matrix} - 1 & 1 \\ 3 & 1 \end{matrix}] - 2 \det [\begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 0 \end{matrix}] + 4 \det [\begin{matrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix}] \\ = - 4 - 4 (- 1 - 3) - 2 (- 3) + 4 (3 - 2) \\ = - 4 + 16 + 6 + 4 \\ = 22 \end{array}

\begin{array}{l} \det [\begin{matrix} 1 & 3 & 3 & 3 \\ 3 & 1 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & 3 & 1 \end{matrix}] \\ = \det [\begin{matrix} 1 & 3 & 3 \\ 3 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & 1 \end{matrix}] - 3 \det [\begin{matrix} 3 & 3 & 3 \\ 3 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & 1 \end{matrix}] + 3 \det [\begin{matrix} 3 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 1 \end{matrix}] - 3 \det [\begin{matrix} 3 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & 1 \\ 3 & 3 & 3 \end{matrix}] \\ = - 8 + 18 + 18 \\ - 3 (- 24 + 18 + 18) \\ + 3 (- 18 + 6) \\ - 3 (18 - 6) \\ = 28 - 36 - 36 - 36 \\ = - 80 \end{array}

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter)

a = {{1, 0, 1, 0}, {3, 2, -1, 1}, {2, 0, 3, 1}, {3, -4, 2, 0}}

{{1, 0, 1, 0}, {3, 2, -1, 1}, {2, 0, 3, 1}, {3, -4, 2, 0}}

a // TraditionalForm

Det[a]

Det[{{1, 3, 3, 3}, {3, 1, 3, 3}, {3, 3, 1, 3}, {3, 3, 3, 1}}]

-80