行列式行列式の展開 3次、因数分解

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線形代数演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (浅野功義(著)、大関清太(著)、岩波書店)の第3章(行列式)、3-2(行列式の展開)、問題2の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \det [\begin{matrix} a + b & a & a \\ a & a + b & a \\ a & a & a + b \end{matrix}] \\ = (a + b) ({(a + b)}^{2} - a^{2}) - a (a (a + b) - a^{2}) + a (a^{2} - a (a + b)) \\ = (a + b) ({(a + b)}^{2} - a^{2}) + 2 a (a^{2} - a (a + b)) \\ = (a + b) ({(a + b)}^{2} - a^{2}) - 2 a^{2} b \\ = (a + b) (2 a b + b^{2}) - 2 a^{2} b \\ = ((a + b) (2 a + b) - 2 a^{2}) b \\ = (3 a b + b^{2}) b \\ = (3 a + b) b^{2} \end{array}