行列式行列式の展開方程式の解

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線形代数演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (浅野功義(著)、大関清太(著)、岩波書店)の第3章(行列式)、3-2(行列式の展開)、問題3の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \det [\begin{matrix} x - 2 & - 1 & 1 \\ 1 & x - 1 & 1 \\ 1 & 1 & x - 2 \end{matrix}] \\ = ((x - 2) (x - 1) (x - 2) - 1 + 1) \\ - ((x - 2) - (x - 2) + (x - 1)) \\ = {(x - 2)}^{2} (x - 1) - (x - 1) \\ = (x - 1) ({(x - 2)}^{2} - 1) \\ = (x - 1) (x^{2} - 4 x + 3) \\ = {(x - 1)}^{2} (x - 3) \end{array}

よって、

x = 1, 3

\begin{array}{l} \det [\begin{matrix} x & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & x & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & x & - 1 \\ - 1 & 3 & - 3 & 1 \end{matrix}] \\ = x \det [\begin{matrix} x & - 1 & 0 \\ 0 & x & - 1 \\ 3 & - 3 & 1 \end{matrix}] + \det [\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 \\ 0 & x & - 1 \\ - 1 & - 3 & 1 \end{matrix}] \\ = x (x^{2} + 3 - 3 x) + 1 \\ = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + 1 \\ = {(x - 1)}^{3} \end{array}

よって、

x = 1