行列式行列式の展開帰納法

学習環境

線形代数演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (浅野功義(著)、大関清太(著)、岩波書店)の第3章(行列式)、3-2(行列式の展開)、問題4の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \det [\begin{matrix} a_{0} & - 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ a_{1} & x & - 1 & 0 & \dots & 0 \\ a_{2} & 0 & x & - 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n} & 0 & 0 & 0 & \dots & x \end{matrix}] \\ = a_{0} \det [\begin{matrix} x & - 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & x & - 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & x \end{matrix}] + \det [\begin{matrix} a_{1} & - 1 & 0 & \dots & 0 \\ a_{2} & x & - 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n} & 0 & 0 & \dots & x \end{matrix}] \\ = a_{0} x^{n} + \sum_{k = 1}^{n} a_{k} x^{n - k} \\ = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{n - k} \end{array}

よって帰納法により成り立つ。

（証明終）