線積分線積分の定義と計算 3次元、ベクトル場、線分

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第6章(線積分)、1(線積分の定義と計算)の練習問題2の解答を求めてみる。

線分。

\begin{array}{l} 0 \leq t \leq 1 \\ C (t) = (t, 2 t, 4 t) \end{array}

求める積分。

\begin{array}{l} \int_{C} F \\ = \int_{0}^{1} (t, 2 t, 4 t^{2} - 2 t) \cdot (1, 2, 4) dt \\ = \int_{0}^{1} (t + 4 t + 16 t^{2} - 8 t) dt \\ = {[\frac{16}{3} t^{3} - \frac{3}{2} t^{2}]}_{0}^{1} \\ = \frac{16}{3} - \frac{3}{2} \\ = \frac{32 - 9}{6} \\ = \frac{23}{6} \end{array}

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter)

VectorPlot3D[{x, y, x z - y}, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}, {z, -5, 5},
             ]

ParametricPlot3D[{t, 2t, 4t}, {t, 0, 1},
                 AxesLabel -> {x, y, z}]