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線積分 線積分の定義と計算 ベクトル場、曲線、累乗、定数

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第6章(線積分)、1(線積分の定義と計算)の練習問題6の解答を求めてみる。

曲線について。

C ( t ) = ( t , a t b ) 0 ≤ t ≤ 1

問題のベクトル場の積分。

∫ C F = ∫ 0 1 ( c t a t b , t 6 ( a t b ) 2 ) · ( 1 , a b t b - 1 ) dt = ∫ 0 1 ( a c t b + 1 + ( a 2 t 2 b + 6 ) a b t b - 1 ) dt = ∫ 0 1 ( a c t b + 1 + a 3 b t 3 b + 5 ) dt = [ a c b + 2 t b + 2 + a 3 b 3 b + 6 t 3 b + 6 ] 0 1 = a c b + 2 + a 3 b 3 b + 6 = 3 a c + a 3 b 3 ( b + 2 ) = a 3 ( b + 2 ) - 2 a 3 + 3 a c 3 ( b + 2 ) = a 2 3 + - 2 a 3 + 3 a c 3 ( b + 2 )

よって、 これがbに無関係ならば、

- 2 a 3 + 3 a c = 0

aの値をcを用いて表すと、

2 a 3 = 3 a c a 2 = 3 c 2 a = 3 c 2

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter)

b = 2

2
c = 3

3
a = Sqrt[3c/2]
Output
VectorPlot[{c x y, x^6 y^2}, {x, -1, 1}, {y, -1, 1}]
Output
Plot[a x^b, {x, -1, 1}, PlotRange -> {-1, 1}, AxesLabel -> Automatic]
Output